Prvočísla: Královny a králové světa čísel
Prvočísla. Už ten název zní vznešeně, že? Jsou to takové ty zvláštní čísla, která se dají dělit jen jedničkou a sama sebou. Takoví solitérní vlci v nekonečné množině všech čísel. Ale nenechte se zmást jejich zdánlivou jednoduchostí. Prvočísla skrývají neuvěřitelnou hloubku a hrají zásadní roli v mnoha oblastech, od matematiky po kryptografii.
Co je to vlastně prvočíslo?
Definice je jednoduchá: prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze jedničkou a sebou samým. Čísla 2, 3, 5, 7, 11, 13 jsou všechno prvočísla. Naopak, třeba 4 (dělitelné 1, 2 a 4), 6 (dělitelné 1, 2, 3 a 6) nebo 12 jsou čísla složená, protože mají více než dva dělitele. Představte si to jako stavební kameny všech ostatních čísel. Každé složené číslo se dá rozložit na součin prvočísel - a to vždycky jen jedním způsobem (až na pořadí). Tomu se říká rozklad na prvočísla.
Proč nás prvočísla tak fascinují?
Možná proto, že na první pohled vypadají jednoduše, ale čím hlouběji se do nich ponoříte, tím víc záhad a otázek vyvstává. Už ve starém Řecku se matematici jako Eratosthenes snažili najít způsob, jak prvočísla systematicky hledat. Vymyslel takzvané Eratosthenovo síto, což je vlastně takový postup, jak postupně vyškrtávat složená čísla, až zbydou jen ta prvočísla.
Prvočíselná dvojčata a další zajímavosti
Prvočísla se vyskytují v celém rozsahu čísel, ale jejich rozložení je dost nepravidelné. Někdy se vyskytují dvě prvočísla hned vedle sebe - říká se jim prvočíselná dvojčata (například 3 a 5, 5 a 7, 11 a 13). Existuje nekonečně mnoho prvočísel? To už dokázal Euklides před více než 2000 lety. Ale existuje nekonečně mnoho prvočíselných dvojčat? Na to zatím nikdo odpověď nezná! A to je na matematice tak krásné, že pořád existují nezodpovězené otázky.
A co třeba Fermatova čísla? To jsou čísla ve tvaru 22n + 1 (tedy 3, 5, 17, 257, 65537...). Fermat si myslel, že všechna tato čísla jsou prvočísla, ale ukázalo se, že to neplatí. Dodnes se neví, jestli existuje nějaké další Fermatovo prvočíslo kromě těch prvních pěti.
Další zajímavou skupinou jsou Mersennova prvočísla, která mají tvar 2p - 1 (kde p je prvočíslo). Hledání Mersennových prvočísel je tak trochu závod, protože čím větší prvočíslo najdeme, tím víc se o něm píše. Aktuální rekord drží Mersennovo prvočíslo 282,589,933 - 1, které má přes 24 milionů číslic!
Prvočísla v praxi? Kryptografie!
Možná si říkáte, že jsou prvočísla jen taková matematická hračka, ale to není pravda. Mají zásadní využití v kryptografii, tedy v oboru, který se zabývá šifrováním a zabezpečením dat. Moderní šifrovací algoritmy, jako je například RSA, jsou založené na obtížnosti rozkladu velkých čísel na prvočinitele. Čím větší prvočísla se použijí, tím je šifra silnější.
Představte si, že chcete poslat tajnou zprávu. Zašifrujete ji pomocí velkého čísla, které je součinem dvou velkých prvočísel. Ten, kdo zprávu zachytí, potřebuje k dešifrování znát ta dvě prvočísla. Pokud je to číslo dostatečně velké (řádově stovky nebo tisíce číslic), tak je pro současné počítače prakticky nemožné ho rozložit. Proto jsou vaše data v bezpečí.
Je 1 prvočíslo? A co dál?
A na závěr ještě jedna často kladená otázka: Je 1 prvočíslo? Odpověď je NE. Prvočíslo musí mít dva různé dělitele: 1 a samo sebe. Číslo 1 má jen jednoho dělitele, a proto není prvočíslo.
Svět prvočísel je fascinující a plný záhad. I když se zdá, že jsou to jen čísla, tak ovlivňují náš svět víc, než si možná uvědomujeme. Takže až příště budete platit kartou nebo posílat e-mail, vzpomeňte si na ty královny a krále světa čísel - na prvočísla.